Připravuji se na svůj druhý přednes v rámci zdejšího bakalářského semináře a zatím to vypadá, že se mám opravdu na co těšit. Rozhodla jsem se částečně opustit téma své bakalářské práce, tedy, opustit svůj milovaný algoritmus a věnovat se té krásné obecné teorii, ze které vzešel.
I am in the process of preparation for my second talk at the bachelor seminar. So far, it looks that it's going to be a lot of fun for me. I decided to partly desert my thesis topic, that is, lay off my beloved algorithm and entertain myself with the beautiful theory, from which it arose.
Samozřejmě, kdyby to šlo jen tak, říct si, že teď začnu pracovat, to bych si skákala. Nicméně jen taková hloupost jako podívat si na program semináře, kdo o čem povídal, se většinou zvrtne v prozkoumávání nové a zajímavé matematiky. Dnes mě nadchlo jedno z nabízených témat bakalářských prací, a to velmi propracovaný způsob zvonění kostelních zvonů (možná to má co do činění s tím, že v Leidenu zvony zvoní pořád), viz zde:
http://pub.math.leidenuniv.nl/~jongrsde/bachsem-2015/change_ringing.pdf
Of course, if only it were possible to say that you're going to start working and actually do so, I would be so happy. However, even such a stupid little thing as to look at the program of the seminar to see who was talking and what about can make me explore all the new and exciting mathematics. Today I was amazed by one of the thesis topics, it is a very intricate way how to ring the church bells (maybe it has something to do with the fact that in Leiden there are always some bells ringing), see the link above.
Zejména stránka na wikipedii (dostupná pouze v angličtině) je pro mne skvělé pročtení. To je ovšem dáno tím, že některá slova si v hlavě překládám jedním jediným (osvědčeným) způsobem. Třeba "quite" snad pokaždé překládám jako "docela", nicméně již několik let spokojeně používám "docela" ve významu poněkud podobnému slovu "poněkud" (a nikdo z mých konverzačních partnerů si nikdy nestěžoval). Takže $n!$ je pro velké $n$ poněkud velké číslo. A kdo z vás se tomu nechichotá, nemá ponětí o matematice či kráse a rozmanitosti českého jazyka :)
Especially the page at Wikipedia is a beautiful read for me. This might be given by the fact that I tend to translate some words in a peculiar way, which is bound to make me giggle. Such as "quite", which I've been long using (somewhat inaccurately) as "somewhat" - nobody has ever complained. So $n!$ is a somewhat large number for $n$ somewhat large. And those who are not giggling know nothing about mathematics or the beauty of languages :)
Já věděla, že se nemám pouštět do filozofování o jazyku. Ze skříně na mě vypadl kostlivec, křivda na historii, které jsem nezabránila, když jsem mohla. Slovo řád je jedno z nejvíce nadužívaných pojmenování v matematice. Pokud to někdo trumfnete, ráda změním svůj žebříček. Nicméně v teorii čísel a algebře se s řády setkáváte pořád. Není proto divu, když objektu pocházejícímu z Dedekindova ordnung, anglicky prostě order, má smysl říkat po vzoru našich ruských bratří порядок, tedy pořádek. Avšak tímto se dopouštíme velkého omylu, neboť Dedekind sledoval biologickou klasifikaci pocházející od Carla Linného, když už jsme měli rod a třídu (genus a class), další objekt pojmenoval prostě řád. Avšak jakmile jednou zavedete notaci, už se od ní těžko upouští...
I know I shouldn't have started thinking about languages. I opened the closet and the skeleton fell on me, such injustice done to history that I didn't prevent even though I should have. The word order is one of the most overused words in mathematics. If anyone thinks they can beat it, I will be more than happy to change my top list, however, in algebra and number theory, there are orders everywhere. In Czech, it does make some sense to avoid order, coming from Dedekind's ordnung, by making use of a Czech translation of the local version of our Russian brothers, which is порядок. However, doing this we make a huge mistake because Dedekind was making use of Linnaean taxonomy, since we've already had genus and class back then, which makes the Czech notation the same řád as any other order is. But once you fix a notation, you cannot easily abandon it...
Tak, už jsem opět klidná. Objektivně uznávám, že v tomto případě o pojmenování zas tak nejde. Tady žádnou škodu nenapáchá, protože řád i pořádek mají zhruba stejně daleko k jakékoliv představě o objektu, který jsem ani nepopsala. Což mi připomíná mé nedávné opětovné toulky topologií, tam si myslím, že na českou terminologii můžeme být opravdu pyšní. Není divu, národe Eduarda Čecha (http://cs.wikipedia.org/wiki/Eduard_%C4%8Cech). Ach, jak skvěle se nám topologie učí, když každý pojem hned prozradí, o co vlastně jde. Ale možná je to tím, že mne topologii učil topolog a spíš než počítat jsem se od něj naučila představovat si...
So I've calmed down again. I have to admit that, in this case, the name does not matter at all. It doesn't do any harm here since both řád and pořádek are equally far from any useful visualization of the object I have not really described. But it reminds me of my recent repeated perambulation in the realms of topology, in which we, the Czech, can be really proud of our nomenclature. No surprise, since we are the nation of Eduard Čech (http://en.wikipedia.org/wiki/Eduard_%C4%8Cech). How easy it is for us to learn topology when every name reveals the true nation of the object. But maybe I am biased since I was taught topology by a topologist and more than to compute I learnt to see...
pondělí 30. března 2015
sobota 21. března 2015
So it's official.
A lot of things have happened since my last post. I remember that while writing the last post some two weeks ago, I had a lot on my plate, especially some difficult decisions to make. Some of the things have been resolved now, to my unending and still very much exhilarating exuberance I have accepted a place in the Algant course, about which most of you must have heard from me - I was only talking about it all the time when I mentioned my future plans. So, next year Regensburg, the year after that Leiden again <3 And after that, who knows? Any suggestions? There are so many things one can do. Unfortunately, no Cambridge. Not yet.
I have been very lucky recently. So many good things have happened to me or to people around me, such as the discovery of this beautiful handout
https://www.math.lsu.edu/~verrill/teaching/math7280/jacobian/jacobianpdf.pdf
which I simply need to share, though I have shared it with some of you already. Its only drawback is that I got distracted and started reading Cassels, which is unbelievable and amazing and surpasses the source. Well, I guess that happens. And I am quite happy with my Cassels (horrified I have realised that I should have been at a party now, sorry guys, too many things happening)...
Or the rediscovery of Kummer theory which I've finally understood in a satisfactory way, mostly due to the fact that I have finally seen it in its full beauty, in action (personal note: thank you!). I have spent a lot of time talking to various people about life, world and mathematics and (re)discovered many strange but appealing things. I finished the first chapter of my thesis and did some useful work on the following ones, so even in this aspect I am progressing.
However, not everything has been as positive as this account may sound, in short, I have freed up much more time in my life for mathematics than I would have preferred to have. Anyway, now when it's here, what else could I do but to do my best with it? Also, I can finally play with my jigsaw Rembrandt. And that is fun.
And as for Leiden - the spring has begun (as all of you certainly know). It's almost long-sleeve only weather outside and when it gets sunny, one can jog in shorts. It is so pleasant to live here. Basically, the only day, when it was ugly and overcast, was yesterday - during the eclipse. Well, well, well. At least I was able to work most of the day!
How I look forward to all the beautiful things waiting for me! My summer will be beautiful and it is still only forming... Well, basically, I knew that even before, because why wouldn't it be beautiful? Come on, guys. It's the same as with what people say about Holland - why would you want it to rain all the time? See how lovely the weather is when you stop wishing for such stupid things? BTW, anyone who would like to join me in my summer?
In any case, wish me luck. Luck is always useful and it looks like there are some difficult days waiting for me now.
I have been very lucky recently. So many good things have happened to me or to people around me, such as the discovery of this beautiful handout
https://www.math.lsu.edu/~verrill/teaching/math7280/jacobian/jacobianpdf.pdf
which I simply need to share, though I have shared it with some of you already. Its only drawback is that I got distracted and started reading Cassels, which is unbelievable and amazing and surpasses the source. Well, I guess that happens. And I am quite happy with my Cassels (horrified I have realised that I should have been at a party now, sorry guys, too many things happening)...
Or the rediscovery of Kummer theory which I've finally understood in a satisfactory way, mostly due to the fact that I have finally seen it in its full beauty, in action (personal note: thank you!). I have spent a lot of time talking to various people about life, world and mathematics and (re)discovered many strange but appealing things. I finished the first chapter of my thesis and did some useful work on the following ones, so even in this aspect I am progressing.
However, not everything has been as positive as this account may sound, in short, I have freed up much more time in my life for mathematics than I would have preferred to have. Anyway, now when it's here, what else could I do but to do my best with it? Also, I can finally play with my jigsaw Rembrandt. And that is fun.
And as for Leiden - the spring has begun (as all of you certainly know). It's almost long-sleeve only weather outside and when it gets sunny, one can jog in shorts. It is so pleasant to live here. Basically, the only day, when it was ugly and overcast, was yesterday - during the eclipse. Well, well, well. At least I was able to work most of the day!
How I look forward to all the beautiful things waiting for me! My summer will be beautiful and it is still only forming... Well, basically, I knew that even before, because why wouldn't it be beautiful? Come on, guys. It's the same as with what people say about Holland - why would you want it to rain all the time? See how lovely the weather is when you stop wishing for such stupid things? BTW, anyone who would like to join me in my summer?
In any case, wish me luck. Luck is always useful and it looks like there are some difficult days waiting for me now.
sobota 7. března 2015
Cosmos is a huge place
Once you've seen the world, you can't just go back and forget how big the place is. How huge. Enormous. It's really big. And things are so different in other parts of the world. So strange. So alien. Yet so familiar. Perhaps it is because the human brain tends to compare the current experience with what you've seen already and then gives you the most similar comparison. However, it is enough to look at the evening starts to remember what is the true scope of the universe. It's tremendously big.
Když jednou poznáte svět, nemůžete to už vrátit a zapomenout, jak velký je. Jak obrovský. Nesmírný. Je fakt velký. A tolik věcí je tak odlišných v jiných částech světa. Tak zvláštních. Tak cizích. A přece tak známých. Možná je to tím, že lidský mozek každou informaci porovnává s tím, co již zažil, aby pak dodal nejvěrnější připodobnění. Nicméně stačí se večer podívat na hvězdy, aby si člověk uvědomil, jaké jsou rozměry vesmíru. Jsou neuvěřitelně velké.
Yet the details are what makes it so beautiful. Avšak jsou to právě detaily, které svět dělají tak překrásným.
Several things have happened that made me think about my home and my place in the universe. First, I have been away from home for five weeks now, I've never been away for so long before. It does make me feel homesick from time to time, however, I have already bought my tickets to Czech for a little visit. For a few days, but knowing that I am going to go there again makes me feel strange. And knowing that I do call it a visit and not homecoming says a lot. Sometimes I don't even feel like being away from home at all. I have everything I need here, I have everything I could hope for, talk with my family every day, I'm in contact with my friends, so why would this feel like an alien place at all?
Událo se několik věcí, které mne přiměly zamyslet se nad mojím místem ve vesmíru. Zaprvé: jsem z domu už pět týdnů, ještě nikdy jsem nebyla pryč tak dlouho. Občas se mi stýská, nicméně, už jsem si koupila jízdenky na malou návštěvu domoviny. Na pár dní, ale už to vědomí, že se tam vracím, ve mně vyvolává zvláštní pocity. A to vědomí, že je to pro mne výlet a ne návrat domů taky říká hodně. Někdy mám pocit, že jsem vlastně nikdy z domu neodjela, mám tu vše, co potřebuji, vše, co bych si tak mohla přát, s rodinou si povídám každý den, s přáteli a kamarády jsem rovněž v kontaktu, proč bych to tu pro mne mělo být cizí?
Especially since they have the sea... Zejména když tu mají moře...
Když jsem z domu deší dobu (a kolikkrát se mi to stalo jen v Praze!), občas se zarazím a uvědomím si, že vlastně nejsem doma. Divím se, kde to vlastně jsem. Jak jsem se sem dostala. Jakým jazykem to vůbec mluvím? Kdo jsou všichni ti lidi okolo mě? Vždycky mě to hodně překvapí, uvědomit si, jak jednoduché je odjet do nových míst, zažít nové věci, potkat nové lidi. Jak trapně jednoduché to je.
Second, I was asked to give an interview describing my relationship to my alma mater, to my department, my faculty, my life there. It has been a rich life and, despite the fact that there are so many things that annoy me endlessly, I like the place. Maybe with some effort which I've long longed to devout to my department it could become a beautiful place for mathematics and life there.
Zadruhé, byla jsem požádána poskytnout rozhovor o mém vztahu k mé alma mater, k mému ústavu, fakultě a o mém tamějším životě. Život to prozatím byl plný a přestože je spousta věcí, které mne vytáčejí k šílenství, to místo se mi líbí. Možná že s trochou úsilí, kterou jsem už do toho dlouho hodlala investovat, by můj ústav mohl být krásné místo pro matematiku a život.
Nevertheless, as many of you may know, there is no going back. I have had enough time to think about the things that have happened and that led to my firm decision to leave the department, heartbreaking though that may be for me. Perhaps, if certain things change, I shall go back. I would love to go back, there is a lot that should be change and that can be changed. There are people I have not talked enough to, there is many a great man I can learn from, such things are not meant to be, though. Nonetheless, I have decided to take my leave and not make a huge bonfire out of the place and all the bridges back, however appealing that might seem.
Nicméně, jak spousta z vás ví, nedá se svítit a nedá se jít zpět. Měla jsem dost času popřemýšlet o tom, co se stalo, což vedlo k mému nezvratnému rozhodnutí odejít, třebaže mi to zlomí srdce. Třebas, až se v budoucnu některé věci změní, se zas budu moct vrátit zpátky, některé věci by se měly a mohly změnit. Je tam spousta lidí se kterýma jsem si ještě dost nepopovídala, tolik skvělých lidí, od kterých se můžu spoustu naučit, avšak některé věci tak prostě nemají být. Rozhodla jsem se prostě odejít a nepodpálit vše, jak to místo, tak všechny mosty zpět, třebaže to zní velmi lákavě.
But as I've said, the world is a huge place. So huge that I hope that I will find a new home. I have been browsing through many courses offered at many universities and it stings a bit, it feels a bit that harsh on my department to feel that it does not have much to offer to me. Of course it has. I have been a very satisfied user of Masaryk university and almost all benefits it offers to us, ranging from our own decent (say what you like) pizzeria Nostra, overnight open computer study room, career center, courses at other faculties, sociology experiments. Oh, all the lovely details. The sofas and the gardens at our own faculty. So many great friends, so many good memories. But mathematically, I have had my share. And there are so many things I yearn to learn that I know I would have to study on my own in Brno. What a shame.
Ale jak už jsem řekla, svět je opravdu velké místo. Tak velké, že věřím, že se mi v něm podaří najít nový domov. Koukala jsem se poslední dobou na studijní plány a předměty vyučované na jiných školách a pýcha trochu píchá u srdce (Pulp Fiction), přijde mi to trochu nefér vůči mému ústavu, když cítím, že mi už nemá moc co nabídnout. Samozřejmě že mi má co nabídnout. Jsem velmi spokojeným uživatelem Masarykovy Univerzity a téměř všech jejích benefitů, od naší rozumné pizzerie (říkejte si, co chcete) Nostry, celou noc otevřené počítačové studovny, kariérního centra, předmětů na jiných fakultách, socioekonomických experimentů. Tolik krásných detailů. Jako třeba pohovky a zahrady na naší fakultě. Tolik skvělých přátel, tolik skvělých vzpomínek. Ale matematicky už jsem si to vybrala. Je tolik věcí, co se chci naučit, ale musela bych se učit sama v Brně. Jaká škoda.
So maybe a place like this in the future...? Takže třeba v budoucnu takového místo...?
Next, I am going to make some decisions about my education and my future life. I have to. For reasons aforementioned as well as private. And franky, I am scared of those decisions. Huge goals never really worked for me (just look at my athletics career and to a lesser extent my math life as well), but with smaller goals I might as well stay home and do the things I have long wished to do. Any help in this would be much appreciated.
Zadalší, čekají mě nějaká rozhodnutí o svém budoucím vzdělávání. Budu se muset rozhodnout. Kvůli důvodům již zmíněným, ale i osobním. A upřímně řečeno, mám z nich strach. Velké cíle pro mne nikdy moc nefungovaly (stačí se podívat na moji atletickou kariéru a v menší míře i můj matematický život), ale s malými cíly bych mohla taky rovnou zůstat doma a věnovat se taky všem těm věcem, co bych už jsem dlouho chtěla zkusit. Jakákoliv pomoc v tomhle ohledu bude velmi vítaná.
Not to get too sentimental, I would like to mention one more thing. I am watching the European athletics champs in Prague, now. I am very happy for all the Czech athletes and I hope to see even more personal bests and beautiful results. Congratulations to all of you. I feel a bit sad being reminded of my old life, but things change and some are beyond any control. And this is too beautiful a sports feast to feel sad.
Aby to nebylo příliš sentimentální, ráda bych zmínila ještě jednu věc. Koukám a fandím atletické Evropě, co teď probíhá v Praze. Mám obrovskou radost z nádherných vystoupení českých atletů a doufám, že uvidíme ještě spoustu dalších osobáků a skvělých výsledků. Moc a moc blahopřeju všem. Je mi trochu smutno, protože mi to připomíná můj dřívější život, avšak věci se mění a některé holt nikdo neovlivní. A tohle je příliš krásný atletický svátek na smutnění.
pondělí 2. března 2015
Zas ta kola...
Posledních pár dní jsem byla hodně unavená, asi že ta zdejší zima mi dává tak zabrat. Sluníčko, pěkné počasí, sice místy nepříjemný vítr, sprška, ale zase za větrem teploučko... U mně v pokoji se odpoledne až nedá sedět, jak krásně už to peče, třebaže stále přese sklo. Posledních pár dní jsem tedy měla víceméně oddychových, v plodných konverzacích o krásách matematiky, cizích krajů a jiných kultur, plánováním světlé budoucnosti...
I have been quite tired during the past few days, it must be the local version of winter. Sun, beautiful weather, occasional strong and annoying wind and showers, but beautiful warmth when hidden from the wind... I can hardly sit in my room now in the afternoon sun, it's so warm, even though still only through the window. I have thus had a couple of relaxing days, full of fruitful conversations about beauties of mathematics, foreign lands and other cultures, planning the bright future...
Procházím dalším turbulentním obdobím a můj mozek na to patřičně reaguje. Malý vzorek: můj život je teď jako na houpačce - vyvolá písničku Buddy Holly - Everyday (proč, proboha, proč), a myslím na horskou dráhu, stoupám výš, jen výš (evokuje Arnolda Rimmera v Červeném Trpaslíku) a taky Vzhůru, tesaři, do výše střechu zdihněte, mého milovaného Salingera a potažmo Sapfó, kdy mi vyvstane v paměti nezapomenutelné trojverší
I am going through another turbulent period of my life and my brain reacts accordingly. A little sample: my life is now like on a rollercoaster - which brings up the Everyday song by Buddy Holly (why, oh why), so I am thinking of the rollecoasters and going up, up, up! (Thinking of Arnold Rimmer in the Red Dwarf) and also Raise High the Roofbeam, Carpenters, my beloved Salinger and of course Sappho, so I remember the following
"...na měkkém lůžku nachovém "...on soft couches
na jemných asijských kobercích then your tender caresses
sladces tišila touhu svou po dívkách" fulfilled your desire"
Tyto verše považuji za největší újmu, které se mi kdy dostalo v hodinách literatury, neboť mi bylo sděleno, že prý v Sapfó lze nalézti jemné náznaky lesbické lásky, proto jsem byla překvapena, že jsem podobné verše nacházela ve všech těch procházkách olivovými hájky. Matně se mi vybavuje ještě jedna krásná báseň, kde se Sapfó zpovídá ze svého žalu, že ji její milenka opustila, aby se vdala... A už zas myslím na nádherné milostné verše Keatse, na pro mne nejsilnější milostný příběh Démona od Lermontova, na nejkrásnější milostnou píseň Poison od Alice Cooper:
I consider these three lines to be the greatest damage ever done to me in my literature classes, for I was told that one can find insinuations of lesbian love in Sappho, hence I was surprised to find such poems in all of those walks in the olive groves. I can almost recall another beautiful poem, when Sappho reveals her pain after being left by her lover, who was to get married... And I am thinking about the beautiful love poems of Keats, the strongest love story (for me) - the Demon by Lermontov, the most beautiful love song Poison by Alice Cooper:
Na Kissáky, svou rodinu a hudbu, na které jsem vyrůstala... A pak si vzpomenu, že někde doma mám ještě snad výpisky z Kafkových deníků, a přepadne mne nesmírná touha vyrazit zpátky domů, vrátit se do knihovny v mém rodném městě, podívat se, zda je moje oblíbená sbírka Čapka stále v té stejné chodbičce, jak dlouho už jsem tam jenom nebyla...
I'm thinking about Kiss, my family and the music I grew up listening to.. And then I remember that somewhere at home I might still have the notes I made from Kafka's diaries and I feel the enormous desire to go back home, go to the library in my home city to see if my favourite Čapek collection is still in the same row, how long is it since I've last been there...
Jistě uznáte, že v takovémto rozpoložení mysli se nedá příliš soustředit. Proč však můj mozek tak šílí? Mnozí už to ví, nicméně ti, kterým to zatím bylo skryto, vězte, přijali mne na školu mých snů (doslova), Trinity, Cambridge. Co to pro mne znamená?
Surely you must admit that I cannot focus with my mind doing this all the time. Why is my brain so perplexed, though? Some of you know already, however, those, who have been until now oblivious to the fact, shall see that I have been accepted to the school of my dreams (literally), Trinity, Cambridge. What does that mean to me?
Samozřejmě, odpovědi jsou jednoduché. Příliš to neřešit, soustředit se na své studium, těm, co mi věří, dokázat, že si mysleli správně, těm, co mi něvěří, dokázat, že se pěkně spletli a že se se mnou musí počítat. Ale stále je v tom poměrně dost přemýšlení a jsou tu místa, kam bych se podívala mnohem raději. Naštěstí se musím rozhodnout do konce července, takže je spousta času to vše zvážit...
Of course, the answers are pretty easy. Do not bother with these things too much, focus on my studies, to those who believe in me I shall prove that I can make it, to those I who do not believe in me I can prove that they were dead wrong and that I indeed am to be counted with. But there's still a fair deal of thinking I have to put into all this, there are other places I would much rather go to. Fortunately, I only need to decide by the end of July, so there's a lot of time to consider each angle...
A taky jedna perlička z víkendu. Poprvé jsme měli problém s kolem, zablokovala se zadní brzda (naštěstí ne na mém šampionovi), samozřejmě, že já, starý mazák, který si je poměrně jistý, že před 6 lety ve sklepě kolo měl, ale od té doby ho neviděl, jsem u sebe měla kompletní výbavu... Nicméně, uprostřed ničeho se mezi dunami vynořil mohutný pán na procházce, vytáhl z batůžku klíč, něco povolil, něco přitáhnul a kolo opět jezdilo. Monty Pythoni o tom chlápkovi kdysi natočili skeč:
Also, a little gem from the weekend. We had the first problems with bikes, the rear brake got blocked or something (fortunately not on my champion!) and of course, I, the expert, who is pretty sure that there was some bike that belonged to him in the cellar some 6 years ago but it is likely that it is no longe there, had all the tools to fix it. However, in the middle of nowhere, coming out of nowhere in the dunes, there was a huge man on a stroll, took out a spanner, tightened some bits, loosened others and the bike worked again. The Monty Pythons made a sketch about this guy.
I have been quite tired during the past few days, it must be the local version of winter. Sun, beautiful weather, occasional strong and annoying wind and showers, but beautiful warmth when hidden from the wind... I can hardly sit in my room now in the afternoon sun, it's so warm, even though still only through the window. I have thus had a couple of relaxing days, full of fruitful conversations about beauties of mathematics, foreign lands and other cultures, planning the bright future...
Procházím dalším turbulentním obdobím a můj mozek na to patřičně reaguje. Malý vzorek: můj život je teď jako na houpačce - vyvolá písničku Buddy Holly - Everyday (proč, proboha, proč), a myslím na horskou dráhu, stoupám výš, jen výš (evokuje Arnolda Rimmera v Červeném Trpaslíku) a taky Vzhůru, tesaři, do výše střechu zdihněte, mého milovaného Salingera a potažmo Sapfó, kdy mi vyvstane v paměti nezapomenutelné trojverší
I am going through another turbulent period of my life and my brain reacts accordingly. A little sample: my life is now like on a rollercoaster - which brings up the Everyday song by Buddy Holly (why, oh why), so I am thinking of the rollecoasters and going up, up, up! (Thinking of Arnold Rimmer in the Red Dwarf) and also Raise High the Roofbeam, Carpenters, my beloved Salinger and of course Sappho, so I remember the following
"...na měkkém lůžku nachovém "...on soft couches
na jemných asijských kobercích then your tender caresses
sladces tišila touhu svou po dívkách" fulfilled your desire"
Tyto verše považuji za největší újmu, které se mi kdy dostalo v hodinách literatury, neboť mi bylo sděleno, že prý v Sapfó lze nalézti jemné náznaky lesbické lásky, proto jsem byla překvapena, že jsem podobné verše nacházela ve všech těch procházkách olivovými hájky. Matně se mi vybavuje ještě jedna krásná báseň, kde se Sapfó zpovídá ze svého žalu, že ji její milenka opustila, aby se vdala... A už zas myslím na nádherné milostné verše Keatse, na pro mne nejsilnější milostný příběh Démona od Lermontova, na nejkrásnější milostnou píseň Poison od Alice Cooper:
I consider these three lines to be the greatest damage ever done to me in my literature classes, for I was told that one can find insinuations of lesbian love in Sappho, hence I was surprised to find such poems in all of those walks in the olive groves. I can almost recall another beautiful poem, when Sappho reveals her pain after being left by her lover, who was to get married... And I am thinking about the beautiful love poems of Keats, the strongest love story (for me) - the Demon by Lermontov, the most beautiful love song Poison by Alice Cooper:
I'm thinking about Kiss, my family and the music I grew up listening to.. And then I remember that somewhere at home I might still have the notes I made from Kafka's diaries and I feel the enormous desire to go back home, go to the library in my home city to see if my favourite Čapek collection is still in the same row, how long is it since I've last been there...
Jistě uznáte, že v takovémto rozpoložení mysli se nedá příliš soustředit. Proč však můj mozek tak šílí? Mnozí už to ví, nicméně ti, kterým to zatím bylo skryto, vězte, přijali mne na školu mých snů (doslova), Trinity, Cambridge. Co to pro mne znamená?
Surely you must admit that I cannot focus with my mind doing this all the time. Why is my brain so perplexed, though? Some of you know already, however, those, who have been until now oblivious to the fact, shall see that I have been accepted to the school of my dreams (literally), Trinity, Cambridge. What does that mean to me?
- Zřejmě si někteří povolaní myslí, že na to mám. Jak si to mám začít myslet taky?
- Zřejmě ode mě někteří povolaní očekávají velké věci. Jak mám dostát jejich očekávání?
- Opravdu dokážu pracovat tak poctivě, abych dokázala víceméně samostatně studovat náročné věci pod tlakem prestižnosti?
- Vážně (ruku na srdce, lidi) jsem právě já ten člověk, na kterého byste si vsadili, že vůbec přežije takový stres?
- Co pak dál?...........
- There are some competent people that think I can make it. Should I start thinking the same?
- Some competent people are clearly expecting big things from me. How can I fulfil their expectations?
- Can I really work so hard to be able to study difficult things on my own in such a prestige-based environment?
- Am I really the one (and honesty here, please) you would bet that will survive such stress?
- And what would be the next step?........
Samozřejmě, odpovědi jsou jednoduché. Příliš to neřešit, soustředit se na své studium, těm, co mi věří, dokázat, že si mysleli správně, těm, co mi něvěří, dokázat, že se pěkně spletli a že se se mnou musí počítat. Ale stále je v tom poměrně dost přemýšlení a jsou tu místa, kam bych se podívala mnohem raději. Naštěstí se musím rozhodnout do konce července, takže je spousta času to vše zvážit...
Of course, the answers are pretty easy. Do not bother with these things too much, focus on my studies, to those who believe in me I shall prove that I can make it, to those I who do not believe in me I can prove that they were dead wrong and that I indeed am to be counted with. But there's still a fair deal of thinking I have to put into all this, there are other places I would much rather go to. Fortunately, I only need to decide by the end of July, so there's a lot of time to consider each angle...
A taky jedna perlička z víkendu. Poprvé jsme měli problém s kolem, zablokovala se zadní brzda (naštěstí ne na mém šampionovi), samozřejmě, že já, starý mazák, který si je poměrně jistý, že před 6 lety ve sklepě kolo měl, ale od té doby ho neviděl, jsem u sebe měla kompletní výbavu... Nicméně, uprostřed ničeho se mezi dunami vynořil mohutný pán na procházce, vytáhl z batůžku klíč, něco povolil, něco přitáhnul a kolo opět jezdilo. Monty Pythoni o tom chlápkovi kdysi natočili skeč:
Also, a little gem from the weekend. We had the first problems with bikes, the rear brake got blocked or something (fortunately not on my champion!) and of course, I, the expert, who is pretty sure that there was some bike that belonged to him in the cellar some 6 years ago but it is likely that it is no longe there, had all the tools to fix it. However, in the middle of nowhere, coming out of nowhere in the dunes, there was a huge man on a stroll, took out a spanner, tightened some bits, loosened others and the bike worked again. The Monty Pythons made a sketch about this guy.
Díky Ti, neznámý hrdino! Many thanks, my unknown hero!
středa 25. února 2015
BS 1 (bachelorseminarium!)
For those who are interested how is my thesis evolving, this is the brief summary of my notes and afterthoughts of my talk today (since nothing gives you more motivation to do things than dissatisfaction with what you've just done).
Crypto with public key
Main advantage: anybody can see the public key, so we don't have to distribute the key secretly. However, we are the only ones who can decrypt the message, so even if intercepted, the attacker cannot read it without the secret key.
RSA
We pick a number $n = pq$, a product of two large prime numbers (each of some $150$ digits) and use it as the (public) modulus. Then we pick any $e \in \mathbb{N}$ such that $\operatorname{gcd}(e, \phi(n))= 1$ and use it as the public key.
Complexity rudiments
We make vague remarks about the asymptotic runing time of
Given a number $n$, we want to factor it into prime numbers. We may suppose that our number is not a prime, either because we know it has factors implicitly or because it has failed some of the standard primality tests (for instance the Rabin Miller test). A very simple factorization scheme is the trial division:
We know that if $p|n$, then we have a surjective map $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{ \times } \twoheadrightarrow (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{ \times}$, hence the idea is to perform computations in the first group that could theoretically give us the unit element in the second group, say $x \equiv 1$ mod $p$, then we have of course that $\operatorname{gcd}(n,x-1) > 1$ and we hope to factor $n$. The typical example is the Pollard's $p-1$ method, which works well if we have a prime divisor $p$ such that $p-1$ is a smooth number, that is, a number divisible only by small primes.
This algorithm is so useful because there are \textit{many} elliptic curves and their groups of points have around $p$ elements in a \textit{fairly random} manner, so this works if there is a smooth value close to $p$ and we are lucky enough to hit upon such a curve. Heuristic arguments and reality shows that we are likely to be lucky, especially if we have a small factor, say $30$ digits.
Congruent squares
Another arithmetic fact is that if $n$ is not an odd prime power, then if
$$x^2 \equiv 1 \, \operatorname{mod} \, n$$
Then $x \not\equiv \pm 1$ mod $n$ with probability at least $\frac{1}{2}$. Indeed, for an odd prime power the group of invertible elements is always cyclic, therefore the only solutions to (\ref{square_equal_one}) are $\pm1$. But testing whether a number is a power of a prime number is easy, we can do it by simple binary search:
Forming squares using products
It is easy to see that to use the trick with congruent squares, it is enough to produce independently two squares $x^2 \equiv y^2$. One of the easiest examples for this is the quadratic sieve. Here we will work with values $x^2$ (which always produce squares) and $y = x^2-n$. If $n$ is odd, we can always hope to find a $y^2 = x^2-n$ (since $n=ab = (\frac{a+b}{2})^2+(\frac{a-b}{2})^2$). However, we observe that if for some values $x_i$ we have $\prod (x_i^2-n) = y^2$, we get the desired relation.
This process works in general: if we manage to produce independently sequences $x_i$, $y_i$ such that $x_i \equiv y_i$ modulo $n$ and $\prod x_i = x^2, \prod y_i = y^2$, we have $x^2\equiv y^2$ mod $n$ and we hope to get the desired factors. Smooth numbers Common sense dictates that if a number (such as $x^2-n$ in the quadratic sieve) is divisible by a large prime number, we are less likely to use it in our product, because the numbers divisible by larger primes are sparse.
Hence we naturally arrive at the definition of a smooth number:
In practice, we choose the degree of the polynomial $f(x)$ to be a small number $d$ (say up to $10$), pick $m$ close to $\sqrt[d]{n}$ and write $n = m^d+a_{d-1}m^{d-1}+\dots+a_0$ in basis $m$. Then we set $f(x ) = x^d + a_{d-1}x^{d-1}+\dots+a_0$. We may assume that this polynomial is going to be irreducible, because random polynomials are irreducible and a non-trivial factor would give us a factor of $n$. But it is customary that one does spend some time on picking the polynomial to find the best candidate for making the rest of the computations simple.
In general, $\mathbb{Z}[\alpha]$ is not going to be a unique factorization domain. For simplicity, let us assume it is. Then we have the notion of a prime element that substitutes prime numbers. We also have the units that correspond to the sign bit in integers. In general, the unit group is going to be much larger than just $\{\pm 1\}$, but it is the theorem of \textit{Dirichlet} that the unit group is finitely generated and the rank can be bounded by the degree of the polynomial $f$.
We want to have a smooth numbers, that is, numbers divisible only by small primes. For this we first need to define the notion of smallness. As the absolute value on $\mathbb{Z}$ is multiplicative, we have a similar notion of multiplicative map $$\operatorname{Norm}: \mathbb{Z}[\alpha] \rightarrow \mathbb{Z}$$ Since norm can be defined as the determinant of the linear map on the finitely dimensional $\mathbb{Q}-$vector space $\mathbb{Q}(\alpha)$, we get that $$\operatorname{Norm}(\beta \gamma) = \operatorname{Norm}(\beta) \operatorname{Norm}(\gamma)$$ and with the help of characteristic polynomials of linear maps and the classic theory of algebraic integers we can show that $\operatorname{Norm}(\mathbb{Z}[\alpha]) \subset \mathbb{Z}$. From the multiplicativity and integrality of norm we have that $$\beta \mid \gamma \text{ in }\mathbb{Z}[\alpha] \Rightarrow \operatorname{Norm}(\beta) | \operatorname{Norm}(\gamma)\text{ in }\mathbb{Z}$$
As we have already mentioned, the role of prime numbers is played by prime elements of $\mathbb{Z}[\alpha]$, that is, elements $\pi \in \mathbb{Z}[\alpha]$ such that $(\pi)$ is a prime ideal of $\mathbb{Z}[\alpha]$. We can show that in fact $\operatorname{Norm}(\beta) = \# (\mathbb{Z}[\alpha]/(\beta))$. As prime ideals are the same as kernels of homomorphisms into integral domains, from the finiteness of norm we get that they are actually kernels of homomorphisms from $\mathbb{Z}[\alpha] \rightarrow \mathbb{F}_q$ into finite fields.
Now we will clarify the restriction to numbers $a-b\alpha$, $a,b$ coprime. As we have seen, prime ideals correspond to kernels of homomorphisms into finite fields. Suppose that we have a prime element $\pi$ such that $\pi | a-b\alpha$. Then $a \equiv b\alpha$ mod $(\pi)$. Because $\operatorname{gcd}(a,b)=1$, we cannot have $ab \equiv 0$ modulo $(\pi)$ (because then $p=$ char($\mathbb{F}_q$) would divide both $a$ and $b$). Therefore, $\alpha \equiv \frac{a}{b} \operatorname{mod }\, (\pi)$ and $\mathbb{F}_q = \mathbb{F}_p$ (we call such primes the degree $1$ primes). But in this case $\operatorname{Norm}(\pi) = p$ and $p \mid \operatorname{Norm}(a-b\alpha)$.
In general, however, $\mathbb{Z}[\alpha]$ is not going to be a unique factorization domain. This is most easily saved by going from elements to ideals. Then we have the following:
Crypto with public key
Main advantage: anybody can see the public key, so we don't have to distribute the key secretly. However, we are the only ones who can decrypt the message, so even if intercepted, the attacker cannot read it without the secret key.
RSA
We pick a number $n = pq$, a product of two large prime numbers (each of some $150$ digits) and use it as the (public) modulus. Then we pick any $e \in \mathbb{N}$ such that $\operatorname{gcd}(e, \phi(n))= 1$ and use it as the public key.
- Anyone who wants to communicate with us takes their message $m$ and computes $m^e$ mod $n$, which they send us,
- To decrypt the message, we compute $(m^e)^d$ mod $n$, where $d$ is the unique inverse of $e$ modulo $\phi(n)$, using \textit{Lagrange} theorem we get that $m^{de} \equiv m$ mod $n$.
Complexity rudiments
We make vague remarks about the asymptotic runing time of
- $f(n)$: $O(g(n))$, if $\limsup \frac{f(n)}{g(n)} < \infty$ for $n \rightarrow \infty$
- $o(g(n))$, if $|\frac{f(n)}{g(n)} | \rightarrow 0$ for $n \rightarrow \infty$
- polynomial, if $g(n)$ is a polynomial of $\log n$,
- exponential, if $f(n) = O(n^\alpha)$ for some $\alpha$ but not $O(n^\beta)$ for some $0 <\beta < \alpha$
- subexponential, if it is halfway in between, not polynomial and better than exponential, that is, if it is $o(n^\alpha)$ for every $\alpha > 0$ but not polynomial
Given a number $n$, we want to factor it into prime numbers. We may suppose that our number is not a prime, either because we know it has factors implicitly or because it has failed some of the standard primality tests (for instance the Rabin Miller test). A very simple factorization scheme is the trial division:
- We start dividing $n$ by small numbers, if it is divisible, we divide, to get a smaller number.
- We always find the complete factorization
- If the number is a product of two primes of approximately the same size, then we need to go all the way to $\sqrt{n}$.
- Even if we try to divide only by prime numbers, we need to try $\pi (n) \sim \frac{\sqrt{n}}{\log \sqrt{n}} $, which is still a lot.
We know that if $p|n$, then we have a surjective map $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{ \times } \twoheadrightarrow (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{ \times}$, hence the idea is to perform computations in the first group that could theoretically give us the unit element in the second group, say $x \equiv 1$ mod $p$, then we have of course that $\operatorname{gcd}(n,x-1) > 1$ and we hope to factor $n$. The typical example is the Pollard's $p-1$ method, which works well if we have a prime divisor $p$ such that $p-1$ is a smooth number, that is, a number divisible only by small primes.
- We pick a pivot $a$ and compute the sequence $a, a^2, a^6, \dots, a^{k!}$ modulo $n$,
- Because $k!$ is only divisible by a small prime numbers, if $p-1$ is smooth, we will soon get that $a^{k!}$ is the unit modulo $p$,
- By computing $\operatorname{gcd}(a^{k!}-1,n) >1$ we hope to get a factor of $n$.
This algorithm is so useful because there are \textit{many} elliptic curves and their groups of points have around $p$ elements in a \textit{fairly random} manner, so this works if there is a smooth value close to $p$ and we are lucky enough to hit upon such a curve. Heuristic arguments and reality shows that we are likely to be lucky, especially if we have a small factor, say $30$ digits.
Congruent squares
Another arithmetic fact is that if $n$ is not an odd prime power, then if
$$x^2 \equiv 1 \, \operatorname{mod} \, n$$
Then $x \not\equiv \pm 1$ mod $n$ with probability at least $\frac{1}{2}$. Indeed, for an odd prime power the group of invertible elements is always cyclic, therefore the only solutions to (\ref{square_equal_one}) are $\pm1$. But testing whether a number is a power of a prime number is easy, we can do it by simple binary search:
- For all possible exponents $d$ (that is, while $2^d < n$), we will check, whether $n$ is a square, \item by halving the intervals, we approximate the closest $d-$th power to $a$.
- That is, starting with the interval $[2,a]$, we compute the value $b^d$ for the midpoint $b$, if we have $b^d > a$, we continue with the midpoint of the left half-interval, if we have $b^d < a$ we use the midpoint of the right half-interval, if we have $b^d = a$ at some point, we are done.
- If we cannot halve the interval any further, $a$ is not a $d-$th power, so we raise the exponent.
Forming squares using products
It is easy to see that to use the trick with congruent squares, it is enough to produce independently two squares $x^2 \equiv y^2$. One of the easiest examples for this is the quadratic sieve. Here we will work with values $x^2$ (which always produce squares) and $y = x^2-n$. If $n$ is odd, we can always hope to find a $y^2 = x^2-n$ (since $n=ab = (\frac{a+b}{2})^2+(\frac{a-b}{2})^2$). However, we observe that if for some values $x_i$ we have $\prod (x_i^2-n) = y^2$, we get the desired relation.
This process works in general: if we manage to produce independently sequences $x_i$, $y_i$ such that $x_i \equiv y_i$ modulo $n$ and $\prod x_i = x^2, \prod y_i = y^2$, we have $x^2\equiv y^2$ mod $n$ and we hope to get the desired factors. Smooth numbers Common sense dictates that if a number (such as $x^2-n$ in the quadratic sieve) is divisible by a large prime number, we are less likely to use it in our product, because the numbers divisible by larger primes are sparse.
Hence we naturally arrive at the definition of a smooth number:
A number $a$ is $B-$smooth if all of its prime factors are smaller than $B$.
Supposing we have a collection of smooth numbers (or in general numbers divisible only by prime numbers $p \in \mathbb{P}$ in some set of prime numbers), for which we know the complete factorization into prime numbers. If we wish, we can also use negative integers and remember the sign of each integer.
- Call the prime numbers $p \in \mathbb{P}$ the factorization basis,
- For every number $a$, form the exponent row vector $v(a) = (\operatorname{ord}_p(a))_p$, that is, for every prime number $p \in \mathbb{P}$ remember the highest power with which $p $ divides $a$ (if we need, we can include one entry remembering the sign of the number), since we are only interested in the product being a square, we deduce that we can consider the exponent vector only modulo $2$,
- Because of exponent rules, we see that forming a square as a product of $x_i$ is the same as forming a linear dependency of $v(x)_p$ over $\mathbb{F}_2$,
- Hence we are in the safe homelands of linear algebra!
From basic linear algebra we know that we are sure to find a linear dependency if we have more row vectors than $\# \mathbb{P}$. This also shows the strengths and weaknesses of this approach. If we use many prime numbers, our numbers are more likely to be smooth. However, if we use too large a factorization basis, we will have to find a great many of them and we will have to deal with huge matrices afterwards.
Number field sieve
So now we are ready to appreciate the usage of number rings. By definition, a number ring is a subring of a number field, that is a finite extension of $\mathbb{Q}$. We are only going to need the subrings of the form $\mathbb{Z}[\alpha] \cong \mathbb{Z}[x]/(f(x))$ for some $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ monic irreducible. For simplicity, we will discuss the most widely spread form of the number field sieve, that is, on one side, we will consider numbers of the form $a-bm$, $\operatorname{gcd}(a,b)=1$ such that $m $ is a root of $f(x)$ modulo $n$. Then we have a map $$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[\alpha] \rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$ sending $(m,\alpha) \mapsto (m,m)$, and hence $(a-bm, a-b\alpha) \mapsto (a-bm,a-bm)$. Hence we have pairs of numbers $(a-bm,a-b\alpha)$ that are congruent to each other modulo $n$.
We have seen how to construct a square from a set of integers via sieving with small prime numbers. We will do this simultaneously by sieving also the numbers $a-b\alpha$. In the following sections, we will define all the important notions and show that sieving can indeed be done.
Constructing the polynomial
In practice, we choose the degree of the polynomial $f(x)$ to be a small number $d$ (say up to $10$), pick $m$ close to $\sqrt[d]{n}$ and write $n = m^d+a_{d-1}m^{d-1}+\dots+a_0$ in basis $m$. Then we set $f(x ) = x^d + a_{d-1}x^{d-1}+\dots+a_0$. We may assume that this polynomial is going to be irreducible, because random polynomials are irreducible and a non-trivial factor would give us a factor of $n$. But it is customary that one does spend some time on picking the polynomial to find the best candidate for making the rest of the computations simple.
Analogies with $\mathbb{Z}$
In general, $\mathbb{Z}[\alpha]$ is not going to be a unique factorization domain. For simplicity, let us assume it is. Then we have the notion of a prime element that substitutes prime numbers. We also have the units that correspond to the sign bit in integers. In general, the unit group is going to be much larger than just $\{\pm 1\}$, but it is the theorem of \textit{Dirichlet} that the unit group is finitely generated and the rank can be bounded by the degree of the polynomial $f$.
Small numbers
We want to have a smooth numbers, that is, numbers divisible only by small primes. For this we first need to define the notion of smallness. As the absolute value on $\mathbb{Z}$ is multiplicative, we have a similar notion of multiplicative map $$\operatorname{Norm}: \mathbb{Z}[\alpha] \rightarrow \mathbb{Z}$$ Since norm can be defined as the determinant of the linear map on the finitely dimensional $\mathbb{Q}-$vector space $\mathbb{Q}(\alpha)$, we get that $$\operatorname{Norm}(\beta \gamma) = \operatorname{Norm}(\beta) \operatorname{Norm}(\gamma)$$ and with the help of characteristic polynomials of linear maps and the classic theory of algebraic integers we can show that $\operatorname{Norm}(\mathbb{Z}[\alpha]) \subset \mathbb{Z}$. From the multiplicativity and integrality of norm we have that $$\beta \mid \gamma \text{ in }\mathbb{Z}[\alpha] \Rightarrow \operatorname{Norm}(\beta) | \operatorname{Norm}(\gamma)\text{ in }\mathbb{Z}$$
This leads to the following definition:
a number $a-b\alpha$ is $B-$smooth if $\operatorname{Norm}(a-b\alpha)$ is a $B-$smooth integers.
Primes
As we have already mentioned, the role of prime numbers is played by prime elements of $\mathbb{Z}[\alpha]$, that is, elements $\pi \in \mathbb{Z}[\alpha]$ such that $(\pi)$ is a prime ideal of $\mathbb{Z}[\alpha]$. We can show that in fact $\operatorname{Norm}(\beta) = \# (\mathbb{Z}[\alpha]/(\beta))$. As prime ideals are the same as kernels of homomorphisms into integral domains, from the finiteness of norm we get that they are actually kernels of homomorphisms from $\mathbb{Z}[\alpha] \rightarrow \mathbb{F}_q$ into finite fields.
Hence we see that the norm of a prime element is always a power of some prime number $p$.
Sieving
Now we will clarify the restriction to numbers $a-b\alpha$, $a,b$ coprime. As we have seen, prime ideals correspond to kernels of homomorphisms into finite fields. Suppose that we have a prime element $\pi$ such that $\pi | a-b\alpha$. Then $a \equiv b\alpha$ mod $(\pi)$. Because $\operatorname{gcd}(a,b)=1$, we cannot have $ab \equiv 0$ modulo $(\pi)$ (because then $p=$ char($\mathbb{F}_q$) would divide both $a$ and $b$). Therefore, $\alpha \equiv \frac{a}{b} \operatorname{mod }\, (\pi)$ and $\mathbb{F}_q = \mathbb{F}_p$ (we call such primes the degree $1$ primes). But in this case $\operatorname{Norm}(\pi) = p$ and $p \mid \operatorname{Norm}(a-b\alpha)$.
We have deduced that if $a,b$ are coprime, then the only primes dividing $a-b\alpha$ are going to correspond to kernels of homomorphisms of $\mathbb{Z}[\alpha]$ into finite prime fields and those correspond to roots of $f(x)$ modulo $p$. However, it can easily be shown that the norm $N(a-b\alpha) = b^d f(\frac{a}{b}) = g(a,b)$, which is a homogeneous polynomial in $a$ and $b$. So we have the following:
- For each prime of degree $1$ we remember the characteristic of the residue field $p$ and the unique root $r_p$ of $f(x)$ modulo $p$ that gives rise to this prime element,
- a necessary condition for $\pi$ to divide $a-b\alpha$ is that $p \mid \operatorname{Norm}(a-b\alpha)$,
- since $\operatorname{Norm}(a-b\alpha)$ is a homogeneous polynomial, we clearly see that $p| g(a,b)$ if and only if $p |g(a+mp, b+np), m,n \in \mathbb{Z}$,
- if $p | \operatorname{Norm}(a-b\alpha)$, then $\pi$ divides $a-b\alpha$ if and only if $\frac{a}{b} \equiv r_p$ modulo $p$
Obstructions
Using the very same tools as before we can produce a number which has even exponent vector for the primes in our factorization basis and is not divisible by any other prime. However, divisibility is always only up to unit. Even though we know that the unit group is finitely generated, in general we do not know how to find the generators. So using the sieving process we only find a number which is a square only up to a unit.
General case
In general, however, $\mathbb{Z}[\alpha]$ is not going to be a unique factorization domain. This is most easily saved by going from elements to ideals. Then we have the following:
- There is a subring $\mathfrak{O}_K$ of the field $K = \mathbb{Q}[\alpha]$ such that $\mathbb{Z}[\alpha] \subset \mathfrak{O}_K$ and $\mathfrak{O}_K$ admits unique factorization into prime ideals, however, this ring need not be monogenic (of the form $\mathbb{Z}[\beta]$)
- In general, ideals of $\mathfrak{O}_K$ are not principal, however, the quotient $\mathfrak{I}(K) / \mathfrak{P}(K)$ of all ideals modulo principal ideals is a finite group
- All prime ideals in $\mathbb{Z}[\alpha]$ come from factors of $f(x)$ the minimal polynomial of $\alpha$ For all but finitely many prime ideals $\pi$ of $\mathbb{Z}[\alpha]$ there is a unique prime ideal $\mathfrak{p}$ of $\mathfrak{O}_K$ such that $\pi = \mathfrak{p } \cap \mathbb{Z}[\alpha]$
- For all $\gamma \in \mathbb{Z}[\alpha]$ we have $f'(\alpha)\gamma \in \mathfrak{O}_K$.
From this, we see that if we deal with prime ideals, we see that we can transform the computation from $\mathbb{Z}[\alpha]$ into the (possibly unknown) ring $\mathfrak{O}_K$, where unique factorization holds. But then we have all sorts of obstructions...
To be continued...
Note: I wonder if I can still use in my bachelor thesis the things I write on my blog, without being accused of plagiarism. However, I need not worry about these notes, since anyone who reaches this note is bound to agree that this text is in desperate need of revision and rewriting.
My bachelor thesis, version 1
So today I gave my first talk at the bachelor seminar. With one of the organizers of the seminar abroad and my local supporter down with a flu, it was a more relaxed opportunity to speak, just one teacher and the students. But even this way I was very nervous and that impacted my performance. However, it is over now and people promise that it is going to improve in time.
Tak jsem dneska poprvé povídala na bakalářském semináři. Vzhledem k tomu, že jeden z organizátorů je pryč a můj místní "podpůrce" byl přemožen chřipkou, byla to o něco pohodovější příležitost na prezentaci, jen jeden učitel a studentíci. Ale i tak jsem byla hodně nervózní a dost to ovlivnilo můj výkon. Nicméně, už to mám za sebou a všichni slibují, že se to bude postupně lepšit.
Only that it doesn't seem to work like that. Despite the nontrivial effort I have invested in becoming more relaxed during public speaking (and talking to people my subconsciousness considers important), I have not become any less nervous, only more conscious of the mistakes I make and my inability to avoid them. But perhaps with more time I will get used to it. And perhaps, combined with even more experience, it will one day feel okay.
Akorát to tak opravdu nevypadá. Přese všechnu nemalou snahu, kterou jsem investovala do toho, abych byla uvolněnější během mluvení na veřejnosti (a mluvení s lidmi, které mé podvědomí považuje za důležité), nestala jsem se nikterak uvolněnější, jenom jsem si víc vědoma všech chyb, které dělám, a své neschopnosti se jim vyhnout. Ale přece jen doufám, že si na to časem zvyknou. A třeba přeci jen s ještě většími zkušenostmi se jednoho dne budu cítit fajn.
Nevertheless, I have thought a lot about my thesis, about all the steps and how to simplify them in my mind and what is the true reason to do that, I have thought about subtle connections to things hiding in the backstage, but also strengths and weaknesses especially when compared to other methods. And I made some experiments. Everybody says that getting your hands dirty is the best way in mathematics. So I am digging, though, still at the surface, so it's more like poking the surface with some primitive tools. But it does give me a nice idea of what is happening in my theory. Examples are quite nice. Especially when I don't have to do things by hand.
Ale alespoň jsem hodně přemýšlela o své práci, o všech těch krocích a jak si je zjednodušit v hlavě, proč je vlastně provádím, hodně jsem přemýšlela o drobnostech, které se za tím vším schovávají, ale taky o síle a slabostech, zejména v porovnání s ostatními metodami. A taky jsem začala experimentovat. Všichni říkají, že v matematice není nad to ušpinit si trochu ruce. Tak se v tom vrtám, i když pořád docela po povrchu, takže spíš šťourám primitivními nástroji. Ale mám z toho pěknou přestavu o tom, co se v té teorii děje. Příklady jsou docela pěkné. Zejména když je nemusím dělat ručně.
I think it is one of the biggest deterrents in mathematics for me, seeing all the computations needed to compute the details. It is great to know the theory, but if one wants to see it really works, one has to spend a lot of time doing technical computations, most of which are very susceptible to overwriting and simple numerical mistakes. And I know that I simply can't do that. I can spend hours and hours on simple examples, chasing all the stupid typos I have made along the way. I understand that asking (a) Sage to tell you the solution is not the perfect way to learn things, but when I understand the proof, when I understand what is happening, I still want to execute some examples for my entertainment. I do not need to be present during the actual interrogation because some of the necessary techniques should be kept out of the public eye, but having your example reveal or confirm all the facts you asked for gives you a lot of satisfaction.
Myslím, že je to pro mě jedna z nejvíc odpozujících částí matematiky, když vidím všechny ty výpočty, které potřebuju, abych se dostala ke všem detailům. Je super znát veškerou tu teorii, ale když chcete pochopit, jak to doopravdy funguje, musíte se pustit do dlouhých technických výpočtů, většina z nich je velmi náchylná na přepsání a numerické chybky. A já vím, že já to prostě dělat nemůžu. Dokážu strávit hodiny a hodiny nad jednoduchými příklady, dohledáváním všech těch přepisů a hloupých chybiček, co jsem stihla vyrobit. Chápu, že ptát se [slovní hříčka na Sage / mudrc] na výsledek není ten nejlepší způsob, jak se naučit věci, ale když už rozumím důkazu, když vím, co se cestou děje, pořád chci pro své pobavení [slovní hříčka na execute - popravit / splnit příkaz, instrukci v kódu] nějaký příklad. Nemusím být přítomna po celou dobu výslechu, protože některé nutné postupy by se měly držet mimo dosah věřejnosti, ale když ten příklad odhalí či potvrdí všechna fakta, na které se ptáte, je v tom velké uspokojení.
Tak jsem dneska poprvé povídala na bakalářském semináři. Vzhledem k tomu, že jeden z organizátorů je pryč a můj místní "podpůrce" byl přemožen chřipkou, byla to o něco pohodovější příležitost na prezentaci, jen jeden učitel a studentíci. Ale i tak jsem byla hodně nervózní a dost to ovlivnilo můj výkon. Nicméně, už to mám za sebou a všichni slibují, že se to bude postupně lepšit.
Only that it doesn't seem to work like that. Despite the nontrivial effort I have invested in becoming more relaxed during public speaking (and talking to people my subconsciousness considers important), I have not become any less nervous, only more conscious of the mistakes I make and my inability to avoid them. But perhaps with more time I will get used to it. And perhaps, combined with even more experience, it will one day feel okay.
Akorát to tak opravdu nevypadá. Přese všechnu nemalou snahu, kterou jsem investovala do toho, abych byla uvolněnější během mluvení na veřejnosti (a mluvení s lidmi, které mé podvědomí považuje za důležité), nestala jsem se nikterak uvolněnější, jenom jsem si víc vědoma všech chyb, které dělám, a své neschopnosti se jim vyhnout. Ale přece jen doufám, že si na to časem zvyknou. A třeba přeci jen s ještě většími zkušenostmi se jednoho dne budu cítit fajn.
Nevertheless, I have thought a lot about my thesis, about all the steps and how to simplify them in my mind and what is the true reason to do that, I have thought about subtle connections to things hiding in the backstage, but also strengths and weaknesses especially when compared to other methods. And I made some experiments. Everybody says that getting your hands dirty is the best way in mathematics. So I am digging, though, still at the surface, so it's more like poking the surface with some primitive tools. But it does give me a nice idea of what is happening in my theory. Examples are quite nice. Especially when I don't have to do things by hand.
Ale alespoň jsem hodně přemýšlela o své práci, o všech těch krocích a jak si je zjednodušit v hlavě, proč je vlastně provádím, hodně jsem přemýšlela o drobnostech, které se za tím vším schovávají, ale taky o síle a slabostech, zejména v porovnání s ostatními metodami. A taky jsem začala experimentovat. Všichni říkají, že v matematice není nad to ušpinit si trochu ruce. Tak se v tom vrtám, i když pořád docela po povrchu, takže spíš šťourám primitivními nástroji. Ale mám z toho pěknou přestavu o tom, co se v té teorii děje. Příklady jsou docela pěkné. Zejména když je nemusím dělat ručně.
I think it is one of the biggest deterrents in mathematics for me, seeing all the computations needed to compute the details. It is great to know the theory, but if one wants to see it really works, one has to spend a lot of time doing technical computations, most of which are very susceptible to overwriting and simple numerical mistakes. And I know that I simply can't do that. I can spend hours and hours on simple examples, chasing all the stupid typos I have made along the way. I understand that asking (a) Sage to tell you the solution is not the perfect way to learn things, but when I understand the proof, when I understand what is happening, I still want to execute some examples for my entertainment. I do not need to be present during the actual interrogation because some of the necessary techniques should be kept out of the public eye, but having your example reveal or confirm all the facts you asked for gives you a lot of satisfaction.
Myslím, že je to pro mě jedna z nejvíc odpozujících částí matematiky, když vidím všechny ty výpočty, které potřebuju, abych se dostala ke všem detailům. Je super znát veškerou tu teorii, ale když chcete pochopit, jak to doopravdy funguje, musíte se pustit do dlouhých technických výpočtů, většina z nich je velmi náchylná na přepsání a numerické chybky. A já vím, že já to prostě dělat nemůžu. Dokážu strávit hodiny a hodiny nad jednoduchými příklady, dohledáváním všech těch přepisů a hloupých chybiček, co jsem stihla vyrobit. Chápu, že ptát se [slovní hříčka na Sage / mudrc] na výsledek není ten nejlepší způsob, jak se naučit věci, ale když už rozumím důkazu, když vím, co se cestou děje, pořád chci pro své pobavení [slovní hříčka na execute - popravit / splnit příkaz, instrukci v kódu] nějaký příklad. Nemusím být přítomna po celou dobu výslechu, protože některé nutné postupy by se měly držet mimo dosah věřejnosti, ale když ten příklad odhalí či potvrdí všechna fakta, na které se ptáte, je v tom velké uspokojení.
neděle 22. února 2015
Mijn Leiden
So I have settled down in the Netherlands. I must say that it is quite a nice place to live, with so many lovely places I like to hang out at. Being rather busy with my thesis and preparing for both my consultation tomorrow and presentation on Wednesday, I choose to take a break and think (and share) some of the less pressing and more pleasant aspects of my life in Leiden.
Tak jsem se zabydlela v Nizozemí. Musím uznat, že je to opravdu pěkné místo pro život, tolik nádherných míst, kudy se ráda potuluju. I když mě teď docela zaměstnává bakalářka a příprava jak na zítřejší konzultaci, tak na středeční prezentaci, dělám si přestávku na zamyšlení se nad některými méně hořícími a příjemnějšími aspekty mého leydenského života.
First, the department. Or rather, The Department. It is a beautiful place with a beautiful atmosphere, everybody there is smiling, friendly, you can meet amazing guys during your coffee breaks, I even met another athlete there, which is quite refreshing and encouraging. Students from my office are very friendly, I feel rather nice with them. After all, having met several similar-minded people I do feel good there.
Jako první: ústav. Nebo raději Ústav. Je to nádherné místo s nádhernou atmosférou, všichni se tam usmívají, jsou přátelští, v pauze na kafe se můžete seznámit se skvělýma lidma, dokonce jsem tam potkala i dalšího atleta, což je vskutku milá změna a dobré povzbuzení. Ostatní studenti z našeho kanclu jsou opravdu přátelští a je mi s nima dobře. Koneckonců vždycky, když potkám podobně smýšlející lidi, tak se cítím dobře.
And it gets so beautiful in the afternoon, looking at the setting sun (even though I hope they will clean the window, otherwise I shall do it myself, just to enjoy the lovely scenery outside). And surprisingly enough, despite all the coffee breaks, I have managed to learn a lot of new things. I have solved some "problems" that have been bothering me for ages, as usual, the answer turned out to be obvious, but that's just the life of a mathematician. Making difficult things obvious.
Zejména odpoledne je to na ústavu nádherné, dívat se na zapadající slunce (i když doufám, že umyjí okno, nebo to udělám sama, jen abych si užívala ten výhled ven). Překvapivě, i přese všechny ty pauzy na kafe, jsem se tu naučila spoustu nových věcí. Vyřešila jsem několik "problémů" které mne trápily už dlouho, jako obvykle byla odpoveď zřejmá, ale to je život matematikův. Z těžkých věcí děláme věci na první pohled zřejmé.
Second, the stadium, of course. It is nice to find a second home somewhere else and the track is always the safest shot one should definitely go for. Alas, I have not spent there as much time as I would have liked, mostly because it is incredibly windy and I always get cold there. But nevertheless, it is quite a nice place with a forest / park next to it, the Leidse Hout. Such a beautiful morning it was today, jogging among the trees, canals, bushes, grass, under the warmth of the early spring sun...
Zadruhé: stadion, samozřejmě. Najít druhý domov někde jinde je vždycky moc krásné a dráha je pokaždé jistota, která se musí vyzkoušet. Bohužel jsem tam ještě nestrávila tolik času, kolik bych si přála, protože je to neuvěřitelně větrné místo a vždycky tam promrznu. Ale i přes to je to nádherné místo s parkem / lesíkem vedle, Leidse Hout (a pokud mne mé filologické znalosti neklamou, znamená to leydenské dřevo). Dnes to bylo nádherné ráno, klusání mezi stromy, kanály, křoví, trávou, pod paprsky tepla jarního sluníčka.
But the most beautiful is the center of Leiden. I still can't get enough of it. I love the little walks in the bright lit streets during the enchanting evenings, I enjoy walking around in the morning, when everyone else is still sleeping and the life here is quiet but energizing. And during the day, when the streets are full of people, every face of Leiden has a bit of beauty in it, in fact, a lot of unexpected pulchritude.
Ale nejkrásnější je suveréně centrum Leidenu. Pořád se ho nemůžu nabažit. Zbožňuju procházky osvětlenými ulicemi během kouzelných věčerů, užívám si toulání se okolo zejména ráno, kdy ostatní ještě spí a všechno je tu klidné ale plné energie. A během dne, když se ulice naplní lidmi... Každá tvář Leidenu má v sobě trochu krásy, ve skutečnosti spoustu nečekané nádhery.
The people here are very friendly. Most of them like to play with me the classic "I know you're not Dutch but fine, we can speak Dutch"-game, when you meet somebody local in the morning, most likely they will smile and wish you a nice morning, even if you are just passing by and blatantly staring into their huge front windows. What a pleasant change, much better than a hateful glare you could hope for in Czech.
Lidé tady jsou velmi přátelští. Většina z nich se mnou hraje klasickou "Vím, že nejsi Holanďan, ale dobře, budem mluvit nizozemsky"-hru, když někoho místního potkáte ráno, pravděpodobně se na vás usměje a popřeje dobré ráno, i když jenom procházíte kolem a nepokrytě zíráte do jejich obřích oken. Jaká přijemná změna, mnohem lepší než nenávistný pohled, který tak můžete čekat u nás doma.
Yes, sometimes I still feel homesick, but I have got used to this place a lot. I never thought I could enjoy biking as much as I do, even the occasional hail (and much more ubiquitous rain which I have been fortunately mostly spared of, though) has a special sentiment for me. I had to throw away my lily which burst into bloom beautifully. But I hope to replace it tomorrow with an armful of tulips.
Ano, někdy se mi stýská, ale už jsem si na tohle místo zvykla. Nikdy jsem netušila, že bych si mohla natolik oblíbit jízdu na kole, dokonce i ty občasné kroupy (a mnohem více všudypřítomný déšt, které jsem naštěstí zatím byla téměř ušetřena) pro mne mají zvláštní sentiment. Dneska jsem musela vyhodit lilii, která mi tak nádherně rozkvetla. Ale doufám, že ji zítra nahradím náručí tulipánů...
My life here has been great. I've got some beautiful news recently of which I shall inform you all in due time (as they become more and more official and I am 100% sure it is reality and not just a beautiful dream). I am still full of the beautiful seminar on Friday, where I heard some lovely mathematics and spent half of my weekend on exploration of the just-revealed new lands offshore. Lying on a sofa in the afternoon sun enjoying your hobbies is beautiful. But unfortunately, I have to go back to making my hobby my occupation or at least something useful :)
Můj život tady je zatím nádherný. Včera přišla spousta skvělých novinek o kterých vás budu samozřejmě informovat, až na to přijde ten pravý čas, budou víc oficiální a já si budu jistá, že to není jen nádherný sen. Pořád ještě jsem plna nádherného pátečního semináře, kde jsem slyšela krásnou matiku a polovinu víkendu jsem strávila objevováním nových zemí, které se vynořily z mlhy při pobřeží. A válení se na pohovce v odpoledním sluníčku užívání si vašich koníčků je krásné. Ale bohužel, musím se zas vrátit k přetváření svého koníčku v něco užitečného :)
Tak jsem se zabydlela v Nizozemí. Musím uznat, že je to opravdu pěkné místo pro život, tolik nádherných míst, kudy se ráda potuluju. I když mě teď docela zaměstnává bakalářka a příprava jak na zítřejší konzultaci, tak na středeční prezentaci, dělám si přestávku na zamyšlení se nad některými méně hořícími a příjemnějšími aspekty mého leydenského života.
First, the department. Or rather, The Department. It is a beautiful place with a beautiful atmosphere, everybody there is smiling, friendly, you can meet amazing guys during your coffee breaks, I even met another athlete there, which is quite refreshing and encouraging. Students from my office are very friendly, I feel rather nice with them. After all, having met several similar-minded people I do feel good there.
Jako první: ústav. Nebo raději Ústav. Je to nádherné místo s nádhernou atmosférou, všichni se tam usmívají, jsou přátelští, v pauze na kafe se můžete seznámit se skvělýma lidma, dokonce jsem tam potkala i dalšího atleta, což je vskutku milá změna a dobré povzbuzení. Ostatní studenti z našeho kanclu jsou opravdu přátelští a je mi s nima dobře. Koneckonců vždycky, když potkám podobně smýšlející lidi, tak se cítím dobře.
And it gets so beautiful in the afternoon, looking at the setting sun (even though I hope they will clean the window, otherwise I shall do it myself, just to enjoy the lovely scenery outside). And surprisingly enough, despite all the coffee breaks, I have managed to learn a lot of new things. I have solved some "problems" that have been bothering me for ages, as usual, the answer turned out to be obvious, but that's just the life of a mathematician. Making difficult things obvious.
Zejména odpoledne je to na ústavu nádherné, dívat se na zapadající slunce (i když doufám, že umyjí okno, nebo to udělám sama, jen abych si užívala ten výhled ven). Překvapivě, i přese všechny ty pauzy na kafe, jsem se tu naučila spoustu nových věcí. Vyřešila jsem několik "problémů" které mne trápily už dlouho, jako obvykle byla odpoveď zřejmá, ale to je život matematikův. Z těžkých věcí děláme věci na první pohled zřejmé.
Second, the stadium, of course. It is nice to find a second home somewhere else and the track is always the safest shot one should definitely go for. Alas, I have not spent there as much time as I would have liked, mostly because it is incredibly windy and I always get cold there. But nevertheless, it is quite a nice place with a forest / park next to it, the Leidse Hout. Such a beautiful morning it was today, jogging among the trees, canals, bushes, grass, under the warmth of the early spring sun...
Zadruhé: stadion, samozřejmě. Najít druhý domov někde jinde je vždycky moc krásné a dráha je pokaždé jistota, která se musí vyzkoušet. Bohužel jsem tam ještě nestrávila tolik času, kolik bych si přála, protože je to neuvěřitelně větrné místo a vždycky tam promrznu. Ale i přes to je to nádherné místo s parkem / lesíkem vedle, Leidse Hout (a pokud mne mé filologické znalosti neklamou, znamená to leydenské dřevo). Dnes to bylo nádherné ráno, klusání mezi stromy, kanály, křoví, trávou, pod paprsky tepla jarního sluníčka.
But the most beautiful is the center of Leiden. I still can't get enough of it. I love the little walks in the bright lit streets during the enchanting evenings, I enjoy walking around in the morning, when everyone else is still sleeping and the life here is quiet but energizing. And during the day, when the streets are full of people, every face of Leiden has a bit of beauty in it, in fact, a lot of unexpected pulchritude.
Ale nejkrásnější je suveréně centrum Leidenu. Pořád se ho nemůžu nabažit. Zbožňuju procházky osvětlenými ulicemi během kouzelných věčerů, užívám si toulání se okolo zejména ráno, kdy ostatní ještě spí a všechno je tu klidné ale plné energie. A během dne, když se ulice naplní lidmi... Každá tvář Leidenu má v sobě trochu krásy, ve skutečnosti spoustu nečekané nádhery.
The people here are very friendly. Most of them like to play with me the classic "I know you're not Dutch but fine, we can speak Dutch"-game, when you meet somebody local in the morning, most likely they will smile and wish you a nice morning, even if you are just passing by and blatantly staring into their huge front windows. What a pleasant change, much better than a hateful glare you could hope for in Czech.
Lidé tady jsou velmi přátelští. Většina z nich se mnou hraje klasickou "Vím, že nejsi Holanďan, ale dobře, budem mluvit nizozemsky"-hru, když někoho místního potkáte ráno, pravděpodobně se na vás usměje a popřeje dobré ráno, i když jenom procházíte kolem a nepokrytě zíráte do jejich obřích oken. Jaká přijemná změna, mnohem lepší než nenávistný pohled, který tak můžete čekat u nás doma.
Yes, sometimes I still feel homesick, but I have got used to this place a lot. I never thought I could enjoy biking as much as I do, even the occasional hail (and much more ubiquitous rain which I have been fortunately mostly spared of, though) has a special sentiment for me. I had to throw away my lily which burst into bloom beautifully. But I hope to replace it tomorrow with an armful of tulips.
Ano, někdy se mi stýská, ale už jsem si na tohle místo zvykla. Nikdy jsem netušila, že bych si mohla natolik oblíbit jízdu na kole, dokonce i ty občasné kroupy (a mnohem více všudypřítomný déšt, které jsem naštěstí zatím byla téměř ušetřena) pro mne mají zvláštní sentiment. Dneska jsem musela vyhodit lilii, která mi tak nádherně rozkvetla. Ale doufám, že ji zítra nahradím náručí tulipánů...
My life here has been great. I've got some beautiful news recently of which I shall inform you all in due time (as they become more and more official and I am 100% sure it is reality and not just a beautiful dream). I am still full of the beautiful seminar on Friday, where I heard some lovely mathematics and spent half of my weekend on exploration of the just-revealed new lands offshore. Lying on a sofa in the afternoon sun enjoying your hobbies is beautiful. But unfortunately, I have to go back to making my hobby my occupation or at least something useful :)
Můj život tady je zatím nádherný. Včera přišla spousta skvělých novinek o kterých vás budu samozřejmě informovat, až na to přijde ten pravý čas, budou víc oficiální a já si budu jistá, že to není jen nádherný sen. Pořád ještě jsem plna nádherného pátečního semináře, kde jsem slyšela krásnou matiku a polovinu víkendu jsem strávila objevováním nových zemí, které se vynořily z mlhy při pobřeží. A válení se na pohovce v odpoledním sluníčku užívání si vašich koníčků je krásné. Ale bohužel, musím se zas vrátit k přetváření svého koníčku v něco užitečného :)
pátek 13. února 2015
Rembrandt, já a pátek třináctého
Musím říct, že dnešní pátek třináctého byl nadmíru vydařený den. Ráno jsem byla jsem na skvělé konzultaci, kterou jsme si (jak si troufale říkám) oba užili, odnesla jsem si spoustu podnětů, které pak na papíře vydaly na dvě strany zajímavých věcí, něco z toho už jsem stihla zapracovat do své drahé bakalářky. Byla jsem z toho natolik nadšená, že jsem nevydržela sedět u nás v kanclu a vyrazila ven.
I must say that today's Friday the 13th has been an awesome day for me. I had a great meeting in the morning which we (I dare say) both enjoyed, I got so many new ideas and hints that in retrospect filled some 2 pages of very interesting stuff, some of which I've already put into my dear thesis. I was so excited about all this that I couldn't be in our office and went out.
Stejně jsem se nemohla moc soustředit, navíc mi dneska spousta lidí přinesla tolik radosti, tak jsem se vydala na okružní jízdu, bylo nádherné počasí, teploučko, sluníčko, tak proč toho nevyužít. Na Haarlemerstraat jsem dostala lilii k zítřejšímu Valentýnu a navíc k tomu lásku boží, poté jsem se byla projít. Vzala jsem to cestou, kudyma obvykle běhám.
Since I couldn't focus and, in addition, a lot of people made me quite happy today, I went for a trip around the city, the weather was splendid, it was warm, sunny, so why not make use of it. I got a lily at Haarlemerstraat for tomorrow's Valentine's day and even some love of God, so after that I went for a walk. I took the way I usually go jogging.
Spousta těchto míst už mi docela přirostla k srdci, moje trasa, co vede přes zdejší "parky" je sice jen zhruba 20 minut dlouhá, ale na ranní klus před snídaní to není špatné, dá se zaběhnout do dalšího beta-parku (beta či ex, není úplně poznat, jestli to bude lepší nebo už to lepší nebude), kousek dál je vlastně už stadion a vedle něj lesík (upravený do pravidelné čtvercové sítě). Anebo se dá běžet přes centrum, kolem univerzity, botanické zahrady, do obchodu jsem si takhle našla pěknou 5tku, z obchodu je to potom asi 200 metrů.
I really like some of these places, my route, which passes through the local "parks" is about 20 minutes long but that's not bad for the morning jogging before breakfast and one can always run for another beta-park (beta or ex, it's not entirely clear whether it is going to be better or it has been better already), a bit further is the stadium and a little forest next to it (organized in an orderly quadrate grid). Or one can run through the center, along the university, botanical garden, I have a nice 5k jog to the shop that way. And it's just 200 metres from the shop then...
Takže Rembrandt. K tomu můžu říct jen dvě věci. Zaprvé, je to zdejší rodák (teda, byl, v 17. století). Zadruhé, našla jsem, co si pověsím v pokoji vedle Mao Tse-Tunga...
So Rembrandt. I can only say two things. First, he was born here in 17th century. And the second, I found who to hang next to Mao Tse-Tung in my room...
I must say that today's Friday the 13th has been an awesome day for me. I had a great meeting in the morning which we (I dare say) both enjoyed, I got so many new ideas and hints that in retrospect filled some 2 pages of very interesting stuff, some of which I've already put into my dear thesis. I was so excited about all this that I couldn't be in our office and went out.
Stejně jsem se nemohla moc soustředit, navíc mi dneska spousta lidí přinesla tolik radosti, tak jsem se vydala na okružní jízdu, bylo nádherné počasí, teploučko, sluníčko, tak proč toho nevyužít. Na Haarlemerstraat jsem dostala lilii k zítřejšímu Valentýnu a navíc k tomu lásku boží, poté jsem se byla projít. Vzala jsem to cestou, kudyma obvykle běhám.
Since I couldn't focus and, in addition, a lot of people made me quite happy today, I went for a trip around the city, the weather was splendid, it was warm, sunny, so why not make use of it. I got a lily at Haarlemerstraat for tomorrow's Valentine's day and even some love of God, so after that I went for a walk. I took the way I usually go jogging.
Spousta těchto míst už mi docela přirostla k srdci, moje trasa, co vede přes zdejší "parky" je sice jen zhruba 20 minut dlouhá, ale na ranní klus před snídaní to není špatné, dá se zaběhnout do dalšího beta-parku (beta či ex, není úplně poznat, jestli to bude lepší nebo už to lepší nebude), kousek dál je vlastně už stadion a vedle něj lesík (upravený do pravidelné čtvercové sítě). Anebo se dá běžet přes centrum, kolem univerzity, botanické zahrady, do obchodu jsem si takhle našla pěknou 5tku, z obchodu je to potom asi 200 metrů.
I really like some of these places, my route, which passes through the local "parks" is about 20 minutes long but that's not bad for the morning jogging before breakfast and one can always run for another beta-park (beta or ex, it's not entirely clear whether it is going to be better or it has been better already), a bit further is the stadium and a little forest next to it (organized in an orderly quadrate grid). Or one can run through the center, along the university, botanical garden, I have a nice 5k jog to the shop that way. And it's just 200 metres from the shop then...
Už se těším na jaro, třeba to listí spraví... Looking forward to the spring, I hope the leaves will make it a bit better...
So Rembrandt. I can only say two things. First, he was born here in 17th century. And the second, I found who to hang next to Mao Tse-Tung in my room...
Takže když dlouho nic nenapíšu.... So if I don't post for a while...
Není divu, že se tady může narodit umělec. No surprise an artist was born here.
Ale na závěr - To finish
i pro Vás mám trochu lásky boží. - some love of God for you as well.
Fotky zde:
čtvrtek 12. února 2015
Gap
I apologize for the gap in my posting but I have been busy. I am applying to some schools, polishing my motivation letters, writing down some thoughts on mathematics. I have started writing my thesis and I am still very much excited about it. So far, I have written maybe 10 pages out of which perhaps two will survive in the end, so that's not so bad. It is going rather well, writing things down has improved my understanding. Moreover, thinking about the importance of different aspects of my topic has also contributed to my better understanding. And I did my laundry. I am proud of myself. However, I spend quite a lot of time studying in the office...
Omlouvám se za malou prodlevu, ale měla jsem trošku práce. Hlásím se na školy, vylepšuji motivační dopisy, sepisuju nějaké myšlenky o matematice. A začala jsem psát bakalářku a pořád jsem z toho nadšená. Zatím jsem napsala asi 10 stránek, ze kterých možná dvě půjdou použít, což není špatné. Jde to zatím docela dobře, když si věci někam zapíšu, mnohem líp jim poto mrozumím. Navíc už jen to přemýšlení o tom, které části budou důležitější, mi hodně pomohlo rozmyslet si, o čem vlastně píšu. A taky jsem si vyprala. Jsem na sebe hrdá. Nicméně spoustu času trávím studiem v kanclu...
Surprising how many things people tell you actually work. Like start early. Write things down. It has helped a lot. This phenomenon is so interesting that I might try it with other things. For instance, I realised that there are some encrypted messages left to entertain the drivers as they travel around in their cars or on their bikes. So if I just start paying attentions to the suggestions along the road, things might get easier for me.
Je až s podivem kolik věcí lidé doporučují které doopravdy fungují. Třeba jako začít s předstihem. Dělat si poznámky. Hodně to pomohlo. Tento fenomén mne natolik zaujal, že to možná zkusím i s jinými věcmi. Třeba jsem si všimla, že kolem silnice jsou občas šifrované zprávy pro pobavení řidičů, jak jezdí kolem autama nebo na kolech. Tak třeba pokud se začnu zajímat i o připomínky a návrhy, co vidím kolem cesty, určité věci pro mě budou jednodušší.
Now, this is just me being frustrated because I had to bike tonight throuh the city in the trafic in the dark and there were bikes everywhere and out of nowhere and the same goes for cars, there is a motorbike approaching you with a strong headlight and then you realise that it is actually car with only one light on... Time to unpack my glasses!
Teď si stěžuju jen proto, že jsem poněkud frustrovaná z toho, že jsem musela jet na kole přes město v docela velkém provozu a za tmy a kola byla všude a zničehonic a to samé platilo pro auta, blíží se k vám motorka se silným světlem a najednou je to auto, kterému svítí jenom jedno světlo... Je na čase vytáhnout brýle!
But my days here have been successful otherwise. I have been to the stadium and it is quite a lovely place to train at, one of the best stadiums I have ever been to (for training, for sure). I read some interesting expositions, reread some of my notes and finally solved one of the longest open mysteries for me, one of the problems that have always piqued my interest in mathematics. I know how to factor prime numbers. Yes. That is true. Prime numbers. Surely they have only two positive divisors in integers, my problem is slightly more involved. That's an expression we use in mathematics to say that it is nothing like that. It's a subtle difference. That is another expression to describe the highest level of discrepancy possible.
However, I need to hurry again. Tomorrow a math meeting with my child hero, more jogging to do and perhaps even my first real track training to start off my new season. Also, I am progressing with my Dutch, English, French and German and that does indeed take some time. Tot ziens! See you! A bientot! Bis bald!
Nicméně musím znovu utíkat. Zítra se potkám se svým dětským hrdinou, chci něco poběhat a možná už přijde čas na první opravdový trénink na stadionu, abych začla novou sezónu. A taky dělám velký pokrok ve své nizozemštině, angličtině, francouštině a němčině, a to přece jenom zabere trochu času. Tak ahoj!
Omlouvám se za malou prodlevu, ale měla jsem trošku práce. Hlásím se na školy, vylepšuji motivační dopisy, sepisuju nějaké myšlenky o matematice. A začala jsem psát bakalářku a pořád jsem z toho nadšená. Zatím jsem napsala asi 10 stránek, ze kterých možná dvě půjdou použít, což není špatné. Jde to zatím docela dobře, když si věci někam zapíšu, mnohem líp jim poto mrozumím. Navíc už jen to přemýšlení o tom, které části budou důležitější, mi hodně pomohlo rozmyslet si, o čem vlastně píšu. A taky jsem si vyprala. Jsem na sebe hrdá. Nicméně spoustu času trávím studiem v kanclu...
Studying in the office or drinking coffee trying to find out how to recognize a 4-ball. As you might see, it could be tricky on the first try... // Studiem v kanclu nebo popíjením kafe a snahou naučit se poznat 4-ball. Napoprvé to není úplně lehké...
Surprising how many things people tell you actually work. Like start early. Write things down. It has helped a lot. This phenomenon is so interesting that I might try it with other things. For instance, I realised that there are some encrypted messages left to entertain the drivers as they travel around in their cars or on their bikes. So if I just start paying attentions to the suggestions along the road, things might get easier for me.
Je až s podivem kolik věcí lidé doporučují které doopravdy fungují. Třeba jako začít s předstihem. Dělat si poznámky. Hodně to pomohlo. Tento fenomén mne natolik zaujal, že to možná zkusím i s jinými věcmi. Třeba jsem si všimla, že kolem silnice jsou občas šifrované zprávy pro pobavení řidičů, jak jezdí kolem autama nebo na kolech. Tak třeba pokud se začnu zajímat i o připomínky a návrhy, co vidím kolem cesty, určité věci pro mě budou jednodušší.
Now, this is just me being frustrated because I had to bike tonight throuh the city in the trafic in the dark and there were bikes everywhere and out of nowhere and the same goes for cars, there is a motorbike approaching you with a strong headlight and then you realise that it is actually car with only one light on... Time to unpack my glasses!
Teď si stěžuju jen proto, že jsem poněkud frustrovaná z toho, že jsem musela jet na kole přes město v docela velkém provozu a za tmy a kola byla všude a zničehonic a to samé platilo pro auta, blíží se k vám motorka se silným světlem a najednou je to auto, kterému svítí jenom jedno světlo... Je na čase vytáhnout brýle!
But my days here have been successful otherwise. I have been to the stadium and it is quite a lovely place to train at, one of the best stadiums I have ever been to (for training, for sure). I read some interesting expositions, reread some of my notes and finally solved one of the longest open mysteries for me, one of the problems that have always piqued my interest in mathematics. I know how to factor prime numbers. Yes. That is true. Prime numbers. Surely they have only two positive divisors in integers, my problem is slightly more involved. That's an expression we use in mathematics to say that it is nothing like that. It's a subtle difference. That is another expression to describe the highest level of discrepancy possible.
However, I need to hurry again. Tomorrow a math meeting with my child hero, more jogging to do and perhaps even my first real track training to start off my new season. Also, I am progressing with my Dutch, English, French and German and that does indeed take some time. Tot ziens! See you! A bientot! Bis bald!
Nicméně musím znovu utíkat. Zítra se potkám se svým dětským hrdinou, chci něco poběhat a možná už přijde čas na první opravdový trénink na stadionu, abych začla novou sezónu. A taky dělám velký pokrok ve své nizozemštině, angličtině, francouštině a němčině, a to přece jenom zabere trochu času. Tak ahoj!
pondělí 9. února 2015
Moře, duny a eliptické křivky // The sea, the dunes and the elliptic curves
V sobotu jsem byla u moře. Bylo pěkně hnusně, místy pršelo, foukalo, bylo zataženo, ale byla jsem tam!
I visited the sea on Saturday. The weather was terrible, it was raining, windy, overcast, but I was there!
.jpg)
I visited the sea on Saturday. The weather was terrible, it was raining, windy, overcast, but I was there!
A taky jsem byla na projížďce na kole. Kolem pobřeží jsou písečné duny, které jsou porostlé mírnou vegetací (ne však úplně všude), vede tam nádherná cyklostezka a ačkoliv se tam v sobotu rojila spousta cyklistů, bylo to místo příjemné a ideální nek relaxaci. A docela jsem si zajezdila, můj drahoušek kolo je spolehlivé, když jedu po dobré silnici tak ani neskřípe a moc nedrncá.
And I went for a bike trip. There are sand dunes along most of the coast, covered with occasional (but by no means overgrown with) vegetation, there is a lovely biking trail and despite the fact that it was Saturday and there was a lot of bikes, it was a quiet, serene place, perfect for relaxing. And I did enjoy my biking, my dear bike is reliable and if I am riding a decent road it doesn't even creak anymore.
Ale zvládla jsem toho přes víkend víc. Třeba první větší úklid, získat zdejší univerzitní kartu, odevzdat první sadu domácích úkolů, pustit se do studia. A o tom bych teď chtěla chvíli povídat.
But I managed a bit more during my weekend. My first bigger cleaning up, I got my university card, I submitted my first set of homework and I started studying a bit. And that's the topic I would like to talk about now.
Ano, začala jsem s ornitologií. Yes, I've picked up some ornithology.
A teď vážně. Vypadá to, že tu budu mít tři předměty, a to eliptické křivky, lokální tělesa (co ještě nezačala) a bakalářský seminář. Ten seminář bude pro mě nejspíš dost hurá akce, mám trochu strach z toho, co budu povídat, nicméně v středu bych měla vidět první přednášející z řad spolužáků, takže budu mít dost času (to jest 2 týdny) na to se připravit na svůj přednes. Zatím to vše pouze trávím.
Seriously now. It looks like I'm going to take three courses, elliptic curves, local fields (haven't started yet) and the bachelor's seminar. That seminar will be rather an experiment for me, I am a bit scared of what I will be talking about, but on Wednesday I should see the first presentations of my classmates, so I will have loads of time (that is 2 weeks) to prepare my own talk. For now, I am merely digesting it all.
Co se týče eliptických křivek, je zvláštní, že mě zatím eliptické křivky učili samí skvělí lidé, jejichž přednášení mi naprosto vyhovovalo. Pokaždé jsem získala jiný nadhled: začali jsme s mým vedoucím se klasickým Silverman-Tate pohledem, až mnohem později jsem se naučila používat eliptické křivky na nějaké krypto, v Turecku jsem se naučila vnímat křivku i jako mřížku a zajímat se víc o morfismy, po krátké divoké exkurzi do fyziky s monstrous moonshine a j-invariantem jsem se v přátelské atmosféře našeho neformálního semináře naučila souvislosti eliptických křivek s modulárními formami, tedy jsem se bavila v podstatě eliptickými křivkami nad komplexními čísly. Když tu už přišel výlet do Montevidea, kde jsem konečně pořádněji studovala eliptické křivky naopak nad konečnými tělesy a dozvěděla se o různých jiných modelech a zejména jsem si užila svůj naivní průzkum křivek s "hodně" automorfismy, ať už s komplexním násobením či v podobě supersingulárních křivek. No a teď jsem zase o krok dál, učím se vnímat svou eliptickou křivku ne jako množinu řešení velmi hezké rovnice v nějakém zafixovaném prostoru, ale jako milé abstraktní prchavé zvířátko, které mi v každém mém tělese odhalí trošku jiný kousíček svého vzezření...
About elliptic curves, it is quite funny, but I've always had such great teachers for elliptic curves, whose lecturing always suited me perfectly. And I've always gained a new insight: we started with my supervisor and the classic Silverman-Tate approach, much later I learnt how to use elliptic curves in some crypto, in Turkey I learnt to think about the curve as a lattice as well and focus also on the morphisms, after a wild trip to physics with the monstrous moonshine and the j-invariant I went on to study in the friendly informal seminar the connections between elliptic curves and modular forms, so I was basically entertaining myself with elliptic curves over complex numbers. But then there was my trip to Montevideo, where I finally properly studied elliptic curves over finite fields and found out about different models and I thoroughly enjoyed especially my naive investigations about curves with many automorphisms, both in the form of complex multiplication and supersingular curves. And now I am one more step further, I am learning how to think of my elliptic curve not being just a set of solutions of a pretty equation in some fixed space but rather being a benign abstract and evasive pet, which shows me a different tiny bit of itself in each of fields I try to study...
Kupodivu se tento pohled dá zachytit pořádně matematicky. Velmi zhruba můžu říct, že začnu tím, že si vyberu těleso koeficientů, dostatečně pěkný ideál v okruhu polynomů a pak moje varieta bude funktor ze slice kategorie těles nad mým vybraným tělesem do množin, který mému oblíbenému tělesu přiřadí množinu všech společných nul polynomů mého ideálu v afinním či projektivním prostoru vhodné dimenze. Proč? Protože takhle můžu zachytit, že některá řešení, co žijou v menším tělesech, mi budou žít i ve větších. Protože dává mnohem větší smysl mluvit o prázdné varietě, protože některé rovnice mají řešení, jenom jsem se nekoukala dost dobře a ony se schovávají ve větších tělesech. A moje zlaté pravidlo je, že kdykoliv mám nějakou strukturu, tak z ní nechci nic vynechat. A to nemluvím o úspoře papíru, když si nedejbože vymyslím, že bych chtěla mít nějaké homomorfismy či automorfismy těles.
Surprisingly enough, I can formulate this viewpoint mathematically. In a very short way, I start with a field of coefficients, I pick a sufficiently nice ideal in the polynomial ring and then my variety is going to be a functor from the slice category of fields over my fixed field to sets, which will assign to my favourite field the set of common zeros of the ideal in the corresponding affine or projective space. Why? Because this way I can capture that some of the solutions living in the smaller fields will live in larger ones. Because it makes much more sense to talk about my variety being empty, because maybe with one field I wasn't looking good enough, maybe my solutions are hiding in the larger fields. And my own personal golden rule is that if I have a structure, I don't want to leave out any of it. And to say nothing about all the paper saved when a whim takes me to consider field homomorphisms or automorphisms.
Vzhledem k tomu, kolik náznaků tohoto přístupu už jsem cítila, se opravdu těším, co bude dál. Jaký nový svět se mi pootevře, ke kterým starým dobře známým věcem v úplně novém světle se dostanu. Takže i když je to něco, co už jsem tolikrát viděla, pořád mě to baví. Protože do sebe tolik věcí začíná zapadat, tolik věcí začíná dávat smysl...
Because of how often I've felt this coming, I am really looking forward to seeing what's next. What new worlds will be unraveled for me, to which good old things I will come back from unexpected angles. So even if I study the things I have seen already, I like them all the same. Because so many things I starting to make sense now...
Bohužel nikoliv tato křižovatka. // Unfortunately not this crossing.
Přihlásit se k odběru:
Příspěvky (Atom)